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Geometry of two integrable systems - discrete functions ZC via circle patterns, conservation laws and linear congruences

2026-01-30T09:57:38Z

Title: Geometry of two integrable systems - discrete functions ZC via circle patterns, conservation laws and linear congruences Author(s): Agafonov, Sergey Abstract: In Teil I werden holomorphe Abbildungen zc, 0 < c ≤ 2, und log(z) durch Kreismuster modelliert. Die Hauptergebnisse sind: die zu den diskreten Versionen der Abbildungen zc und log(z) gehörigen Kreismuster sind eingebettet, und die diskreten Versionen haben dasselbe asymptotische Verhalten wie ihre glatten Gegenstücke. Beweismittel sind die diskreten Painleveschen und Riccatischen Gleichungen. Der Teil II klassifiziert integrierbare linear entartete Systeme von 3 und 4 Erhaltungsgesetzen mit geradlinigen Verdünnungskurven, ohne Riemannsche Invarianten. Wegen der Korrespondenz zwischen Erhaltungsgesetzen und Geradenkongruenzen, liefert die Klassifikation eine differential-geometrische Beschreibung der Geradenkongruenzen mit natürlichen projektiven Eigenschaften. Die charakteristischen Gewebe der entsprechenden partiellen Differentialgleichungen sind flach, dies motiviert eine Klassifikation der impliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Sechseckgewebe von Lösungen.

De Giorgi-Nash-Moser estimates for evolutionary partial integro-differential equations

2026-01-30T09:57:38Z

Title: De Giorgi-Nash-Moser estimates for evolutionary partial integro-differential equations Author(s): Zacher, Rico Abstract: Die vorliegende Arbeit ist dem Studium einiger Klassen von linearen und quasilinearen partiellen Integrodifferenzialgleichungen gewidmet, welche Divergenzstruktur besitzen, von zweiter Ordnung im Ort sind und eine Zeitordnung kleiner als eins haben. Das prototypische Beispiel im linearen Fall ist durch die zeitfraktionale Diffusionsgleichung in Divergenzform gegeben. Solche Gleichungen treten in der Mathematischen Physik z.B. bei der Modellierung von anomaler Diffusion und dynamischen Prozessen in Materialien mit Gedächtnis auf. In dieser Arbeit entwickeln wir eine Theorie schwacher Lösungen für solche Probleme und studieren das Regularitätsproblem im zeitfraktionalen Fall. Für eine große Klasse solcher Probleme zeigen wir Beschränktheit von schwachen Lösungen. Unser Hauptresultat ist ein zeitfraktionales Analogon des berühmten De Giorgi-Nash-Theorems im klassischen parabolischen Fall. Es wird gezeigt, dass jede schwache Lösung der zeitfraktionalen Diffusionsgleichung mit lediglich beschränkten messbaren Koeffizienten hölderstetig ist. Mit Hilfe dieses Resultats beweisen wir die globale starke Lösbarkeit eines gewissen quasilinearen Problems. Ein weiteres wichtiges Resultat dieser Arbeit ist die schwache Harnack-Ungleichung für nichtnegative schwache Oberlösungen der zeitfraktionalen Diffusionsgleichung. Als Anwendung erhalten wir das starke Maximumprinzip und ein Resultat vom Liouvilleschen Typ.

Set-valued convex analysis

2026-01-30T09:57:38Z

Title: Set-valued convex analysis Author(s): Schrage, Carola Abstract: Inhalt der vorliegenden Dissertation ist die konvexe Analysis mengenwertiger Funktionen. Es wird gezeigt, das zu jeder wichtigen Formel der skalaren Theorie ein mengenwertiges Gegenstueck bewiesen werden kann. Es wird eine mengenwertige Version des Fenchel Moreau Theorems bewiesen, des weiteren starke und schwache Dualitaet, eine mengenwertige Max–Formel der Richtungsableitung. Für die Richtungsableitung, Konjugierte und das Subdifferential mengenwertiger Funktionen wird ein vollstaendiges Rechenkalkuel bereitgestellt. Die Ergebnisse beruhen auf einer angemessenen Wahl einer Teilmenge der Potenzmenge eines linearen Raumes als Bildraum der mengenwertigen Funktionen.