https://opendata.uni-halle.de//handle/541532/3154 2026-04-04T05:33:43Z https://opendata.uni-halle.de//handle/1981185920/124695 Title: Lokal D-optimale Designs für nichtlineare Modelle auf der k-dimensionalen Kugel Author(s): Radloff, Martin Abstract: Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der optimalen Versuchsplanung für unterschiedliche nichtlineare Modelle der multiplen Regression. Dabei werden unter anderem die Poisson- und die Negativ-Binomial-Regression sowie die logistische Regression und das Probit-Modell ausgiebig untersucht. Bei diesen Beispielen handelt es sich um verallgemeinerte lineare Modelle, welche in der statistischen Datenanalyse weit verbreitet sind. Außerdem gehören sie zwei Klassen von Modellen an, welche neben weiteren zu besprechenden Eigenschaften entweder eine monotone oder eine unimodale Intensitätsfunktion besitzen. Die gewöhnliche lineare multiple Regression wird dabei als Sonder- beziehungsweise Grenzfall mit betrachtet. Als Versuchsbereich dieser Modelle wird die k-dimensionale Einheitskugel angenommen, wobei durch Äquivarianzbetrachtungen beliebig große Kugeln und Ellipsoide eingebettet im k-dimensionalen euklidischen Raum dienen können. Solche Versuchsbereiche treten beispielsweise im Zusammenhang mit Response-Surface-Methoden auf. Für diese Modelle werden lokal D-optimale Designs ermittelt, welche bis auf Sonderfälle, wie das lineare Modell oder k = 1, bisher unbekannt waren. Dabei werden wiederum intensiv Invarianz- und Äquivarianzeigenschaften des Modells, des Versuchsbereiches und des Optimalitätskriteriums ausgenutzt. Es stellt sich heraus, dass ein möglicher verallgemeinerter lokal D-optimaler Versuchsplan nur Masse auf zwei Orbits besitzt, welche sich im Schnitt von Kugeloberfläche und jeweils einer Hyperebene orthogonal zur Richtung der höchsten Intensität befinden. Einer dieser beiden Orbits kann zu einem einzelnen Punkt, einem Pol, degeneriert sein. Im Falle der Klasse mit monotoner Intensitätsfunktion gibt es immer einen echten Orbit und einen zu einem Pol degenerierten Orbit. Aufgrund der sich ergebenden Designgewichte lässt sich der echte Orbit durch k Designpunkte, welche die Eckpunkte eines darin maximal aufgespannten regulären Simplex sind, diskretisieren, sodass ein exakter Versuchsplan mit k +1 gleichgewichteten Designpunkten entsteht. Dies ist die minimale Anzahl von Designpunkten zum Schätzen des Parametervektors der multiplen Regression. Gleiches gilt zum Teil für die Klasse mit unimodaler Intensitätsfunktion. Hier können aber auch lokal D-optimale Designs mit zwei echten Orbits auftreten, die nur bedingt zu einem Design mit minimaler Anzahl von Punkten diskretisiert werden können. Unbeschadet dessen lassen sich effiziente Versuchspläne mit minimaler Anzahl von Punkten angeben. Als weiteres Resultat führt eine zusätzliche Symmetrieeigenschaft in der Klasse der Modelle mit unimodaler Intensitätsfunktion zu einer Vereinfachung in der Bestimmung der beiden Orbitpositionen.; This thesis deals with the optimal experimental design for various nonlinear multiple regression models. Among others, the Poisson and negative binomial regression as well as logistic regression and the probit model are examined extensively. These examples are generalized linear models, which are widely used in statistical data analysis. They also belong to two classes of models which, among other properties being discussed, have either a monotonic or a unimodal intensity function. The standard linear multiple regression is treated as a special or boundary case. The k-dimensional unit sphere is assumed to be the design region for these models, whereby equivariance considerations allow arbitrarily large spheres and ellipsoids embedded in the k-dimensional Euclidean space. Such design regions arise, for example, in the context of response surface methods. For these models, locally D-optimal designs are determined, which were previously unknown except for special cases such as the linear model or k = 1. Again, invariance and equivariance properties of the model, the design region and the optimality criterion are used intensively. It results that a feasible generalized locally D-optimal experimental design only has mass on two orbits, which are located in the intersection of the surface of the ball and a hyperplane orthogonal to the direction of highest intensity. One of these two orbits can be degenerated into a single point, a pole. In the case of the class with a monotonic intensity function, there is always a proper orbit and an orbit degenerated to a pole. Due to the resulting design weights, the proper orbit can be discretized by k design points, which are the vertices of a regular simplex spanned to the maximum within the orbit, so that an exact experimental design with k+1 equally weighted design points evolves. This is the minimal number of design points for estimating the multiple regression parameter vector. The same is partially true for the class with a unimodal intensity function. However, here locally D-optimal designs with two proper orbits can also occur, which can only be discretized into a design with the minimal number of points to a limited extent. Regardless of this, efficient experimental designs with the minimal number of points can be determined. As a further result, an additional symmetry property in the class of models with unimodal intensity functions leads to simplification of determining the two orbit positions. 2025-01-01T00:00:00Z https://opendata.uni-halle.de//handle/1981185920/124685 Title: Combinatorial aspects of coxeter groups Author(s): Reimann, Anna Franziska Abstract: This thesis investigates aspects of Coxeter groups along two main lines of research, both using similar combinatorial methods. After presenting the basic notions of graph theory together with the geometric and combinatorial foundations of Coxeter groups in Part I (Chapter 2), Part II is devoted to the study of folded galleries and Coxeter shadows. While folded galleries have numerous applications across mathematics, their rich intrinsic combinatorial structure remains only partially understood. This work aims to develop methods for describing folded galleries and shadows in affine Coxeter complexes with Weyl chamber orientations, establishing the foundation for extending these ideas to more general orientations. Central to this study is the introduction of folding patterns in Chapter 3, which encode the combinatorial possibilities of folding minimal galleries. The main result of this chapter is that we characterize all applicable folding patterns of a given minimal gallery by establishing a bijection between folding patterns and directed paths in Bruhat moment graphs in Theorem 3.3.9, reducing the complexity of the problem to the study of finite graphs. Furthermore, we also prove how to determine the spherical direction of the end alcove of a positively folded gallery with respect to Weyl chamber orientations by drawing another link to Bruhat moment graphs in Theorem 3.3.18. Building on these connections, we introduce folding pattern polytopes in Chapter 4, which describe the sets of end vertices of folded galleries with a given folding pattern. For a special subset of group elements, these tools allow us to provide a combinatorial framework for computing the complete Coxeter shadow in Theorem 4.3.12, while for arbitrary group elements, we propose the notion of the Coxeter umbra for the subset of the shadow constructed this way (cf. Theorem 4.4.4). Part III addresses involutions in Coxeter groups, i.e., elements of order two. We study the number cc₂ of conjugacy classes of involutions, a group-theoretic invariant previously determined by Deodhar and Richardson [Deo82; Ric82], in Chapter 5. Our combinatorial approach (cf. Theorem 5.3.7) is based on the introduction of higher-rank odd graphs, a natural generalization of the odd graphs that have been used in the study of conjugacy classes of reflections (see [Bra+02]). This framework allows us to provide closed formulae for cc₂ in all irreducible finite and affine Coxeter groups in Theorems 5.4.3 and 5.4.4. Moreover, we apply our method to compute the number of conjugacy classes of involutions for triangle groups and right-angled Coxeter groups. Uniting both directions of research is the pervasive use of graphs as our combinatorial tool of choice, which provides a common language for the objects under consideration.; Diese Dissertation untersucht Aspekte von Coxeter-Gruppen entlang von zwei Hauptforschungsrichtungen, die auf ähnlichen kombinatorischen Methoden beruhen. Nachdem in Part I (Chapter 2) grundlegende Begriffe der Graphentheorie sowie die geometrischen und kombinatorischen Grundlagen von Coxeter-Gruppen dargestellt werden, widmet sich Part II der Untersuchung gefalteter Galerien und Coxeter-Schatten. Obwohl gefaltete Galerien zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Teildisziplinen der Mathematik haben, ist ihre innere kombinatorische Struktur bislang nur teilweise verstanden. Ziel dieser Arbeit ist es, Methoden zur Beschreibung gefalteter Galerien und Schatten in affinen Coxeter-Komplexen mit Weyl-Kammer-Orientierungen zu entwickeln und damit die Grundlage für eine Erweiterung dieser Ideen auch auf andere Orientierungen zu schaffen. Zentral für unsere Untersuchungen ist die Einführung von folding patterns (dt. Faltungsmuster) in Chapter 3, die die kombinatorischen Möglichkeiten des Faltens minimaler Galerien kodieren. Das Hauptresultat dieses Kapitels besteht darin, dass wir alle anwendbaren Faltungsmuster für eine gegebene minimale Galerie charakterisieren, indem wir in Theorem 3.3.9 eine Bijektion zwischen Faltungsmustern und gerichteten Pfaden in Bruhat-Moment-Graphen herstellen und so die Komplexität des Problems auf die Untersuchung endlicher Graphen reduzieren. Darüber hinaus beweisen wir in Theorem 3.3.18, wie man die sphärische Richtung der End-Alkoven einer positiv gefalteten Galerie in Bezug auf Weyl-Kammer-Orientierungen bestimmt, indem wir eine weitere Verbindung zu Bruhat-Moment-Graphen herstellen. Aufbauend auf diesen Ergebnissen führen wir in Chapter 4 folding pattern polytopes (dt. Faltungsmuster-Polytope) ein, die die Menge der End-Ecken gefalteter Galerien zu einem gegebenen Faltungsmuster beschreiben. Für eine spezielle Teilmenge von Gruppenelementen ermöglichen uns diese Werkzeuge den Entwurf einer kombinatorischen Vorgehensweise zur Bestimmung des vollständigen Coxeter-Schattens in Theorem 4.3.12, während wir für beliebige Gruppenelemente den Begriff der Coxeter-Umbra für die auf diese Weise konstruierte Schattenteilmenge vorschlagen (vgl. Theorem 4.4.4). Part III behandelt Involutionen in Coxeter-Gruppen, d.h. Elemente der Ordnung zwei. In Chapter 5 untersuchen wir die Anzahl cc₂ der Konjugationsklassen von Involutionen, ein gruppentheoretisches Invariant, das zuvor von Deodhar und Richardson [Deo82; Ric82] bestimmt wurde. Unser kombinatorischer Ansatz (vgl. Theorem 5.3.7) basiert auf der Einführung von higher-rank odd graphs (dt. ungeraden Graphen von höherem Rang), einer natürlichen Verallgemeinerung der Odd-Graphen, die in der Untersuchung von Konjugationsklassen von Spiegelungen verwendet werden (vgl. [Bra+02]). Dies erlaubt es uns, geschlossene Formeln für cc₂ in allen irreduziblen endlichen (Theorem 5.4.3) und affinen (Theorem 5.4.4) Coxeter-Gruppen anzugeben. Darüber hinaus wenden wir unsere Methode an, um die Anzahl der Konjugationsklassen von Involutionen für Dreiecksgruppen und rechtwinklige Coxeter-Gruppen zu berechnen. Beide Teile der Dissertation verbindet der Einsatz von Graphen als bevorzugtes kombinatorisches Werkzeug, welches eine gemeinsame Sprache für die betrachteten Objekte bereitstellt. 2026-01-01T00:00:00Z https://opendata.uni-halle.de//handle/1981185920/123601 Title: Fast methods for mixed-integer PDE-constrained optimization Author(s): Hahn, Mirko Abstract: We develop a theoretical framework for geodesics in metric spaces of measurable sets. This framework enables us to extend a subset of nonlinear optimization theory from vector spaces to measure spaces. Specifically, we adapt two iterative optimization methods, the steepest descent method and a simple quadratic penalty method, to this setting, allowing their application to problems involving spatially and temporally distributed binary variables. We demonstrate the practical applicability of these methods through two test problems.; Wir entwickeln einen theoretischen Rahmen für den Umgang mit Geodäten in metrischen Räumen messbarer Mengen. Dieser Rahmen ermöglicht es uns, einen Teil der nichtlinearen Optimierungstheorie von Vektorräumen auf Maßräume zu übertragen. Konkret passen wir zwei iterative Optimierungsverfahren, das Gradientenabstiegsverfahren und ein einfaches quadratisches Penalty-Verfahren, an dieses Setting an, wodurch ihre Anwendung auf Probleme mit räumlich und zeitlich verteilten binären Variablen möglich wird. Die praktische Anwendbarkeit dieser Verfahren demonstrieren wir anhand von zwei Testproblemen. 2025-01-01T00:00:00Z https://opendata.uni-halle.de//handle/1981185920/123594 Title: Autoencoder frameworks for low-dimensional parametrizations of fluid flows Author(s): Kim, Yongho Abstract: Complex dynamical systems often encounter implementation challenges such as infeasibility and high computational cost due to their large dimensionality. A common remedy is to design low-dimensional parametrizations of the system states to enable efficient modeling and computation. Among classical techniques, Proper Orthogonal Decomposition (POD) has been widely adopted across various complex systems owing to its advantageous properties including its linearity, its optimality, and the orthogonality of the POD basis for reduced-order modeling. However, its approximation capability is inherently limited by the Kolmogorov n-width, which constrains the efficiency of dimension reduction in certain cases. As an alternative to POD, nonlinear autoencoders have been extensively developed over the past decade, with their effectiveness demonstrated in a range of tasks. Concurrently, it is also known that employing local bases tailored to different regions of the state space can improve reconstruction quality. Motivated by these insights, we propose a deep clustering architecture that integrates a nonlinear autoencoder with a clustering model. In the first proposed deep clustering model, a nonlinear encoder extracts low-dimensional latent representations that serve as meaningful feature maps. After obtaining the latent states, k-means clustering is applied to partition them into clusters, assigning a label to each latent state. For reconstruction, a suitable local mode is selected based on the corresponding cluster label, enabling accurate and efficient approximation of system states through locally adapted reconstructions. However, this framework relies on a highly nonlinear and discontinuous basis selection process, which limits its applicability to dynamical systems due to challenges in stability and differentiability. To address this limitation, we propose the polytopic autoencoder framework which integrates a lightweight nonlinear encoder, a convex-combination decoder, and a smooth clustering network. This architecture is theoretically well-founded, ensuring that reconstructed states reside within a convex polytope defined by learned local bases. Additionally, a polytope error metric is introduced to quantitatively assess the quality of the polytope and provide insight into the reconstruction fidelity. Another important aspect of model order reduction is the challenge of preserving essential data properties, such as sparsity, positivity, and underlying physical constraints. To alleviate this issue, we design polytopic autoencoders that reconstruct system states using a decoding matrix derived from a CUR decomposition, which is well-suited for maintaining physical interpretability. By employing actual state samples as decoding components, the proposed approach enhances the preservation of intrinsic data properties and ensures consistency with the original physical system.; Die Simulation komplexer dynamischer Systeme bedeutet in der Regel einen hohen Rechenaufwand, der auf die hohe Dimensionalität der Modellgleichung zurückzuführen ist. Eine mögliche Lösung besteht darin, niederdimensionale Parametrisierungen der Systemzustände zu entwickeln, die eine effizientere Modellierung und Berechnung zu ermöglichen. Unter den klassischen Methoden zu dieser sogenannten Modellordnungsreduktion hat sich die Proper Orthogonal Decomposition (POD) etabliert. Diese Methode ist optimal im Sinne einer linearen Parametrisierung gegebener Daten aus dem dynamischen System und zeichnet sich in der Praxis durch die Linearität und die Orthogonalität der Projektion auf die Parametrisierung aus. Dennoch ist ihre Approximationsfähigkeit grundsätzlich durch die Kolmogorov-n-width begrenzt, was die Effizienz der Dimensionsreduktion in bestimmten Fällen einschränkt. Als nichtlineare Alternative zur POD wurden in den letzten zehn Jahren zunehmend Autoencoder verwendet und entwickelt, deren Funktionalität sich in einer Vielzahl von Anwendungsbereichen gezeigt hat. Gleichzeitig ist bekannt, dass die Verwendung lokal angepasster Basen, die auf unterschiedliche Bereiche des Zustandsraums zugeschnitten sind, die Rekonstruktionsqualität erheblich verbessern kann. Aufbauend auf diesen Erkenntnissen schlagen wir eine Deep-Clustering-Architektur vor, die einen nichtlinearen Autoencoder mit einem Clustermodell kombiniert. In der ersten vorgeschlagenen Variante extrahiert ein nichtlinearer Encoder aus gegebenen Daten niederdimensionale Repräsentationen, die als bedeutungstragende Merkmalsabbildungen dienen. Nachdem die diese sogenannten latenten Zustände erfasst wurden, wird ein k- Means-Clustering angewendet, um diese in Cluster zu unterteilen und jedem latenten Zustand ein Label zuzuweisen. Für die Rekonstruktion wird anschließend ein lokaler Modus ausgewählt, der dem jeweiligen Clusterlabel entspricht. Dieses Clustering-Verfahren entspricht der Auswahl und der Verwendung einer lokalen Basis. Auf diese Weise wird eine genaue und effiziente Approximation der Systemzustände durch lokal angepasste Rekonstruktionen ermöglicht. Dieses Verfahren basiert jedoch auf einem stark nichtlinearen und diskontinuierlichen Auswahlprozess für die lokalen Basen. Daher ist seine Anwendbarkeit auf dynamische Systeme eingeschränkt, insbesondere aufgrund fehlender Stabilität und Differenzierbarkeit. Um diese Einschränkung zu überwinden, schlagen wir das Konzept des polytopischen Autoencoder vor. Dieses integriert einen nichtlinearen Encoder, einen Decoder auf Basis von Konvexkombinationen und ein differenzierbares Clustering über ein neuronales Netz. Die vorgeschlagene Architektur ist theoretisch fundiert und stellt sicher, dass rekonstruierte Zustände innerhalb eines konvexen Polyeders liegen, das durch gelernte lokale Basen definiert ist. Dazu wird eine Polyeder-Fehlermetrik eingeführt, um die Qualität des Polyeders quantitativ zu bewerten und Aufschluss über die Genauigkeit der Rekonstruktion zu geben. Ein weiterer wesentlicher Aspekt der Modellordnungsreduktion im Allgemeinen ist die Erhaltung relevanter Eigenschaften der Daten wie Sparsität, Positivität oder physikalische Randbedingungen. In dieser Hinsicht entwickeln wir polytopische Autoencoder, welche die Systemzustände mithilfe einer direkt aus den Daten gezogenen Dekodierungsmatrix rekonstruieren. Diese Matrix wird aus einer CUR-Dekomposition abgeleitet und eignet sich besonders gut zur Wahrung physikalischer Interpretierbarkeit. Durch die direkte Verwendung tatsächlicher Zustandsmessungen als Dekodierungskomponenten trägt der vorgeschlagene Ansatz dazu bei, intrinsische Datenmerkmale zu erhalten und die Übereinstimmung mit dem ursprünglichen physikalischen System sicherzustellen. 2025-01-01T00:00:00Z